قاعدة الضرب

بيان هندسي يمكن من البرهان على قاعدة الضرب

في التحليل الرياضي، قاعدة الضرب (وتدعى أيضًا قانون لايبنتز) قاعدة تستخدم لحساب اشتقاق حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق : لهذا يمكن القول تبعا لترميز لاغرانج :

$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$

أو بترميز لايبنز :

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(uv)=u\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}+v\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.$.

أمثلة

لنحسب تفاضل $f(x)=\sin (x)\cos (x)$. حسب قاعدة الضرب لدينا:

$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[\sin (x)\cos (x)]& =\sin (x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[\cos (x)]+\cos (x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[\sin (x)]\\ & =-{\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)\\ & =1-2{\sin }^2(x).\end{array}$

البراهين

لتكن $h(x)=f(x)g(x)$، ونعتبر أن $g^{\prime }(x)$ و$f^{\prime }(x)$ موجودين. لدينا:

$\begin{array}{rl}{h}^{\prime }(x)& =\underset{a\to 0}{\lim }\frac{h(x+a)-h(x)}{a}=\underset{a\to 0}{\lim }\frac{f(x+a)g(x+a)-f(x)g(x)}{a}\\ & =\underset{a\to 0}{\lim }\frac{f(x+a)g(x+a)-f(x)g(x+a)+f(x)g(x+a)-f(x)g(x)}{a}\\ & =\underset{a\to 0}{\lim }\frac{[f(x+a)-f(x)]\cdot g(x+a)+f(x)\cdot [g(x+a)-g(x)]}{a}\\ & =\underset{a\to 0}{\lim }\frac{f(x+a)-f(x)}{a}\cdot \underset{a\to 0}{\lim }g(x+a)+\underset{a\to 0}{\lim }f(x)\cdot \underset{a\to 0}{\lim }\frac{g(x+a)-g(x)}{a}\\ & =f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x).\end{array}$

تعميمات

جداء أكثر من حدين

قاعدة الضرب يمكن أن تعمم عند حساب اشتقاق أكثر من حدين. على سبيل المثال، اشتقاق جداء ثلاثة حدود يُحسب كما يلي:

$\frac{d(uvw)}{dx}=\frac{du}{dx}vw+u\frac{dv}{dx}w+uv\frac{dw}{dx}.$

من أجل حساب اشتقاق جداء عدد معين من الدوال $f_1,\dots ,f_k$، يتوفر ما يلي:

$\frac{d}{dx}[\prod _{i=1}^k{f}_i(x)]=\sum _{i=1}^k((\frac{d}{dx}{f}_i(x))\prod _{j=1,j\ne i}^k{f}_j(x))=(\prod _{i=1}^k{f}_i(x))\left(\sum _{i=1}^k\frac{f{\text{'}}_i(x)}{f_i(x)}\right).$

اشتقاق من درجات عليا

المقالة الرئيسة: قاعدة لايبنيز العامة

انظر إلى مبرهنة ذي الحدين.

$d^n(uv)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot d^{(n-k)}(u)\cdot d^{(k)}(v).$

$(uv{)}^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).$

${\left(\prod _{i=1}^k{f}_i\right)}^{(n)}=\sum _{j_1+j_2+\cdots +j_k=n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j_1,j_2,\dots ,j_k})\prod _{i=1}^k{f}_i^{(j_i)}.$

انظر أيضا

• دوال عكسية وتفاضلها